Bilangan bulat adalah kumpulan atau himpunan yang nilainya bulat. Bilangan bulat sendiri terdiri dari bilangan cacah dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z. Huruf Z berasal dari kata Zahlen (bahasa Jerman) yang artinya bilangan.
bilangan asli terbagi lagi menjadi bilangan ganjil, genap, prima, dan komposit. Bilangan ganjil merupakan himpunan bilangan yang bukan kelipatan dua atau nilainya nggak habis jika dibagi 2. Kebalikannya, bilangan genap merupakan himpunan bilangan kelipatan 2 atau nilainya akan habis jika dibagi 2.
Bilangan ganjil = {..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …}
Bilangan genap = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …}
Lalu, bagaimana dengan bilangan prima dan komposit, ya?
Bilangan prima merupakan himpunan bilangan yang lebih besar dari 1 dan hanya bisa dibagi oleh angka 1 atau bilangan itu sendiri. Contohnya nih, 2 merupakan bilangan prima karena hanya bisa dibagi 1 dan angka itu sendiri, yaitu 2. Sedangkan, 4 bukan bilangan prima karena selain bisa dibagi 1 dan 4, 4 juga bisa dibagi 2. Contoh bilangan prima lainnya adalah sebagai berikut:
Bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
JIka bilangan yang nilainya lebih besar dari 1 dan bukan termasuk bilangan prima, berarti bilangan tersebut merupakan bilangan komposit. Contohnya, angka 4 tadi. Angka 4 lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima karena bisa dibagi 1, 2, dan 4. Jadi, 4 termasuk bilangan komposit. Contoh lainnya ada 6. Angka 6 juga termasuk bilangan komposit karena nilainya lebih dari 1 dan bukan bilangan prima (bisa dibagi 1, 2, 3, dan 6).
Bilangan komposit = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...}
Membandingkan Bilangan Bulat
Membandingkan bilangan bulat berarti menentukan apakah suatu bilangan bulat memiliki nilai lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan bilangan bulat yang lain. Dalam membandingkan bilangan bulat, kita bisa menuliskannya menggunakan lambang-lambang berikut ini:
Misalkan, a dan b merupakan bilangan bulat.
- Jika a lebih besar dari b, maka bisa ditulis a > b
- Jika a lebih kecil dari b, maka bisa ditulis a < b
- Jika a sama dengan b, maka bisa ditulis a = b
Mengurutkan Bilangan Bulat
Mengurutkan bilangan bulat berarti menuliskan bilangan bulat tersebut secara urut dari nilai terkecil ke nilai terbesar atau sebaliknya. Pada garis bilangan, semakin ke kanan letak suatu bilangan, maka nilainya akan semakin besar. Sebaliknya, semakin ke kiri letak suatu bilangan, nilainya akan semakin kecil.
Contoh Soal!
Urutkan bilangan-bilangan bulat berikut dari yang terkecil ke yang terbesar.
-3, 8, 13, -15, 1
Pembahasan:
Untuk memudahkan menjawab soal di atas, kamu harus ingat kalo bilangan positif nilainya selalu lebih besar dari bilangan negatif. Jadi, -3 dan -15 nilainya udah pasti lebih kecil dari 8, 13, dan 1, ya. Nah, karena yang diminta soal adalah urutan bilangan dari yang terkecil, berarti kita tentukan nih, antara -3 dan -15, bilangan mana yang nilainya paling kecil. Kamu bisa buat garis bilangannya supaya nggak bingung.
Ternyata, -15 terletak jauh di sebelah kiri -3. Itu tandanya, -15 lebih kecil dari -3, atau bisa kita tulis -15 < -3. Kalo kita buat urutannya, berarti begini:
-15 < -3 < … < … < ...
Kemudian, kita lihat pada garis bilangan, angka 13 terletak paling kanan. Berarti, 13 merupakan bilangan yang paling besar.
-15 < -3 < … < … < 13
Tinggal cari perbandingan antara 1 dan 8. Angka 1 lebih kecil dari 8, berarti 1 < 8.
-15 < -3 < 1 < 8 < 13
Jadi, urutan bilangan bulat dari yang terkecil ke yang terbesarnya adalah -15, -3, 1, 8, 13.
Gimana, paham sampai sini? Sekarang, coba kamu kerjakan soal di bawah ini sendiri. Kalo udah ketemu hasilnya, share di kolom komentar, ya!
Latihan Soal!
Urutkan bilangan bulat di bawah ini dari yang terbesar ke yang terkecil.
22, 67, 31, -28, -11, 0
Operasi Hitung Bilangan Bulat
Beberapa operasi hitung sederhana dalam bilangan bulat antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Operasi Penjumlahan
Operasi penjumlahan merupakan operasi yang melibatkan tanda “ + “. Dalam garis bilangan, suatu bilangan yang dijumlahkan dengan suatu bilangan positif akan bergerak ke kanan (semakin besar). Berikut akan dijelaskan sifat-sifat dalam operasi penjumlahan.
Sifat Komutatif
Sifat komutatif dapat disebut sebagai sifat pertukaran. Secara umum sifat komutatif yaitu a + b = b + a. Contohnya:
5 + 8 = 8 + 5 = 13
Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga dengan sifat pengelompokan. Secara umum sifat komutatif dituliskan dengan (a + b) + c = a + (b + c). Contohnya
(4 + 7) + 2 = 4 + (7 + 2) = 13
Sifat identitas terhadap penjumlahan
Unsur identitas terhadap operasi penjumlahan adalah bilangan 0. Mengapa 0 dikatakan sebagai unsur identitas terhadap penjumlahan? Karena jika kita menjumlahkan suatu bilangan dengan 0, hasil operasi penjumlahan akan tetap. Secara umum dituliskan dengan 0 + a = a + 0. Contohnya:
8 + 0 = 0 + 8 = 8
Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers (lawan) dari a adalah –a.
Invers (lawan) dari –a adalah a.
Secara umum sifat invers ini dituliskan dengan a + (-a) = 0
Sifat tertutup
Penjumlahan berlaku sifat tertutup artinya penjumlahan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Jika a dan b adalah bilangan maka a + b = c dengan c merupakan bilangan bulat. Contoh:
3 + 8 = 11. 3, 8, 11 merupakan bilangan bulat.
Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan merupakan operasi yang melibatkan tanda “ – “. Dalam garis bilangan, suatu bilangan yang dikurangi dengan suatu bilangan positif akan bergerak ke kiri (semakin kecil).
Berikut akan dijelaskan sifat-sifat dalam operasi pengurangan. Untuk suatu bilangan bulat berlaku:
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
3 – 1 = 3 + (-1) = 2
4 – (-2) = 4 + 2 = 6
Tidak berlaku sifat komutatif dan assosiatif
a – b ≠ b – a
(a – b) – c ≠ a – (b – c)
Contoh:
4 – 2 ≠ 2 – 4
(6 – 2) – 1 ≠ 6 – (2 – 1)
Pengurangan yang melibatkan bilangan 0
a – 0 = a dan 0 – a = -a
Contoh:
4 – 0 = 4 dan 0 – 4 = -4
Bersifat tertutup
Pengurangan yang melibatkan dua bilangan bulat, hasil operasinya juga merupakan bilangan bulat. Jika a dan b merupakan bilangan bulat, maka a – b = c dengan c merupakan bilangan bulat.
Contoh:
6 – 1 = 5. 6, 1, 5 merupakan bilangan bulat.
Operasi Perkalian
Operasi perkalian merupakan operasi matematika yang melibatkan tanda “×”. Perkalian dapat disebut sebagai penjumlahan yang berulang.
Sifat-sifat operasi perkalian dijelaskan pada bagian berikut.
a x b = ab : hasil perkalian dua bilangan bulat positif merupakan bilangan bulat positif.
Contoh: 5 x 6 = 30. 5, 6, 30 merupakan bilangan bulat positif.
a x (-b) = -ab : hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh: 3 x (-4) = -12. Hasil operasi adalah -12 (bilangan bulat negatif).
(-a) x (-b )= ab : hasil perkalian dua bilangan bulat negatif merupakan bilangan bulat positif.
Contoh: (-5) x (-2) = 10, menghasilkan bilangan bulat positif yaitu 10.
Sifat komutatif
a x b = b x a