Menentukan luas segitiga pada trigonometri

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

L =  ½ alas x tinggi
L = ½ AB x CD

L = ½ . c . h ……………………… (1)

Karena h adalah garis tinggi, maka segitiga ACD adalah segitiga siku-siku, sehingga

Dari (1) dan (2) diperoleh L = ½ .b.c.sin A

Jika garis tinggi h ditarik dari titik B maka diperoleh rumus L = ½ .a.c.sin B

Jika garis tinggi h ditarik dari titik A maka diperoleh rumus L = ½ .a.b.sin C

Jadi disimpulkan: Rumus luas segitiga ABC adalah :

Rumus lain dari luas segitiga ABC adalah jika diketahui panjang ketiga sisinya (yakni a, b dan c). Rumus tersebut adalah

Untuk lebih jelasnya diskusikanlah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah luas segitiga ABC jika diketahui sisi BC = 4 cm, AC = 7√3 cm dan < C = 600

Jawab

Diketahui : BC = a = 4 cm

                  AC = b = 7√3 cm

                 < C = 600

Maka : L = ½ .a.b.sin C

L = ½ (4)(7√3).sin 600

L = ½ (14 √3 )(½ √3)

L = 21

02. Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi BC = 4 cm dan AB = 6√3 cm, maka tentukanlah besar sudut B

Jawab

Diketahui : Luas = 18 cm2

                   BC = a = 4 cm

                   AB = c = 6√3 cm

03. Tentukanlah luas segitiga PQR, jika diketahui panjang sisi PQ = 5 cm, PR = 7 cm dan QR = 8 cm.

Jawab

Diketahui : PQ = r = 5 cm

                   PR = q = 7 cm

                   QR = p = 8 cm

Ditanya : Luas segitiga PQR

Contoh 1:

Tentukan luas segitiga ABC pada Gambar 1 di atas jika diketahui sisi $BC=4$ cm, $AC=7\sqrt{3}$ cm dan $\angle C={60}^0$.

Pembahasan:

Diketahui $BC=a=4$ cm; $AC=b=7\sqrt{3}$ dan $\angle C={60}^0$. Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 2:

Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi $BC=4$ cm dan $AB=6\sqrt{3}$ cm, maka tentukanlah besar sudut B.

Pembahasan:

Diketahui luas segitiga = 18, $BC=a=4$; dan $AB=c=6\sqrt{3}$. Dengan demikian, kita peroleh

Luas Segitiga Jika Hanya Diketahui Panjang Ketiga Sisinya

Dari Gambar 1, jika diketahui hanya nilai ketiga sisinya maka luas segitiga ABC dapat juga ditentukan dengan rumus berikut.

di mana: $S=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Bukti:

Menurut identitas trigonometri diketahui bahwa

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (1) maka diperoleh:

di mana: $S=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Contoh 3:

Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a = 16 cm, b = 14 cm, dan c = 10 cm!

Pembahasan:

Pertama, kita hitung

Sehingga luas segitiga ABC adalah

Jadi, luas segitiga ABC adalah $40\sqrt{3}$ cm2.