Bilangan Kompleks

Table of Contents

  Tujuan Pembelajaran:

1. Menjelaskan pengertian dan bentuk bilangan kompleks.

2. Melakukan operasi -operasi pada bilangan kompleks serta menggunakan sifat-sifatnya untuk penyelesaian masalah.

3. Menjelaskan bentuk konjugat, argumen dan modulus bilangan kompleks, serta menggunakan sifat-sifatnya untuk penyelesaian masalah.

Dasar Pemikiran

Sebelum masuk ke dalam materi, coba perhatikan gambar di samping dan kasus - kasus berikut:

1. Fungsi kuadrat x2 – 4x + 5 = 0. Coba carilah akar-akarnya.

2. Tentukan domain dari akar (4x -2). Mengapa?

Contoh Penggunaan Bilangan Kompleks 

Pengertian Bilangan Kompleks

Pada saat kalian mempelajari matematika tentang bentuk kuadrat, contohnya bentuk x2 + 1 = 0, maka akan kalian dapati bahwa persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi pada bilangan real. hal ini terjadi, karena tidak mungkin mendapatkan nilai dari akar bilangan negatif. Namun, jika kita memperluas himpunan penyelesaian sampai ke bilangan kompleks, maka persamaan kuadrat tersebut di atas memiliki akar-akar.

Bagian Imajiner

Inti dari sistem bilangan yang baru kita pelejari ini adalah pada bagian imajiner atau disebut juga i. 

Berikut penjelasannya:

  i = √ -1

 i²  = -1

Persamaan kedua adalah solusi dari persamaan kuadrat x2 = -1. Persamaan yang sebelumnya tidak memiliki himpunan penyelesaian, saat ini sudah terselesaikan dengan adanya penambahan bagian imajiner. 

Jadi secara sederhana, istilah kompleks yang umumnya kita ketahui seperti : kompleks perumahan adalah gabungan dari beberapa rumah. Analoginya adalah bilangan kompleks dapat kita definisikan sebagai bilangan gabungan, yaitu bilangan Real dan bilangan Imajiner. Misalkan z adalah suatu bilangan kompleks, maka z = a + bi. a adalah bagian Real dan bi adalah bagian Imajiner.

Diagram Argand

Untuk menuangkan suatu bilangan ke dalam suatu diagram, kita biasa menggunakan Diagram Kartesius. Nah, untuk menuangkan suatu bilangan kompkeks ke dalam gambar, kita menggunakan suatu diagram yang dinamakan Diagram Argand. Pada bagian horizontal atau biasanya kita kenal sebagai sumbu x kita menggambarkan bagian Real dari bilangan kompleks dan pada bagian vertikal atau biasa kita kenal sebagai sumbu y kita menggambarkan bagian Imajiner dari bilangan kompleks. Perhatikan gambar di atas.

Operasi Pada Bilangan Kompleks

1. Penjumlahan Bilangan Kompleks

Penjumlahan pada bilangan kompleks mirip seperti penjumlahan pada bilangan biasa, 

yaitu menjumlahkan bagian dari bilangan yang sejenis, yaitu bagian Real dengan bagian Real, serta bagian Imajiner dengan bagian Imajiner. Secara umum, jika z1 dan z2 adalah bilangan bilangan kompleks, maka 

z1 + z2 = z1 = (a1+ a2 )+( b1 + b2 ) i 

Contoh: z1 = 2 + 3i dan z2 = 4 – i, maka 

z1 + z2

= (2 + 4) + (3-1)i 

= 6 + 2i

2. Pengurangan Bilangan Kompleks

Mirip seperti pada penjumlahan di atas,  jika z1 dan z2 adalah bilangan bilangan kompleks, 

maka : 

z1 - z2 = z1 = (a1- a2 )+( b1 - b2 ) i 

Contoh: z1 = 2 + 3i dan z2 = 4 – i, 

maka 

z1 - z2

= (2 - 4) + (3-(-1))i 

= -2 + 4i

3. Perkalian Bilangan Kompleks

        

Aturan perkalian pada bilangan kompleks mirip pada perkalian dua persamaan linear a + bx.

Pertama:  a x c

Luar: a x di

Dalam: bi x c

Terakhir: b x di

Jadi (a+bi) (c+di) = ac + adi + bci + bdi2

Contoh:

(3 + 2i) (1 + 7i)

(3 + 2i) (1 + 7i)= 3.1 + 3.7i + 2i.1+ 2i.7i

 = 3 + 21i + 2i + 14i2

 = 3 + 21i + 2i − 14   (karena i2 = −1)

 = −11 + 23i

Secara singkat:

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i 

Setelah mempelajari materi mengenai operasi pada bilangan kompleks, kerjakanlah latihan berikut untuk mengetahui sejauh mana pemahaman mengenai materi ini.