Ringkasan Materi Persiapan PAT Matematika Kelas 11 SMK

 

1. Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Fungsi Kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki variabel berpangkat 2. Hampir sama dengan persamaan kuadrat namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umum fungsi kuadrat:

 

Contoh: 

Maka dari itu, , , dll.

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik kuadrat berbentuk parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.

a. Jika  maka parabola terbuka ke atas

b. Jika  maka parabola terbuka ke bawah

Berikut langkah-langkah menggambarkan grafik/kurva nya:

1. Tentukan titik potong  terhadap sumbu , yaitu nilai  saat maka dari itu, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 
2. Tentukan titik potong terhadap sumbu , yaitu nilai y saat 
3. Tentukan sumbu simetrinya. Sumbu simetri adalah garis  yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri  terhadap sumbu  dapat dihitung dengan menggunakan rumus:           atau 
4. Tentukan titik puncak(titik balik maks atau titik balik min) grafiknya. Titik puncak merupakan titik dimana nilai  mencapai nilai maks atau nilai min sehingga parabola nya akan berbalik arah
5. Koordinat titik puncak parabola adalah:  
6. Bilamana D adalah Diskriminan, yaitu 
7. Setelah mendapatkan semua titik di atas, maka kita baru dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan semua titik di atas dengan garis yang berbentuk parabola
8. Agar parabola terlihat lebih halus, kita dapat menghitung atau menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi 

Contoh soal:

jika  mempunyai nilai minimum , tentukan nilai 

Jawab:

Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak 

Maka dari itu, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat

Titik puncak = 

Maka dari itu, 

Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Bila pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu  di dua titik berlawanan, menyinggung sumbu , atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu .

Berikut sifat-sifatnya:

Jika  merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat , maka:

Jika , maka grafik  memotong sumbu  pada dua titik berbeda

jika , maka grafik  menyinggung sumbu  pada satu titik

Jika , maka grafik  tidak memotong sumbu 

Menyusun Fungsi Kuadrat Baru

Kita bisa membuat fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga informasi ini diketahui, yaitu:

1. Bila diketahui  melampaui tiga titik, , dan , maka bentuk fungsinya bisa didapat dengan mensubstitusikan nilai koordinat ke tiga titik   , dan  ke persamaan . Selanjutnya akan didapat tiga persamaan linear dalam , dan . Kemudian nilai , dan  dengan menggunakan metode eliminasi/substitusi
2. Bila diketahui  memotong sumbu  di titik  dan , serta melalui satu titik lain , maka bentuk fungsinya adalah: . Titik ke tiga, yaitu  dipergunakan agar memperoleh nilai  pada bentuk fungsi di atas
3. Bila diketahui  melalui titik puncak  dan satu titik lain , maka bentuk fungsinya adalah 

Contoh:

Tentukan bentuk fungsi kuadrat  yang memotong yangsumbu  pada titik  dan ,serta melalui titik A 

Jawab:

Karena diketahui titik potong terhadap sumbu  dan melewati satu titik lain, maka kita dapat menggunakan bentuk di atas, yaitu 

Maka dari itu:

Karena melewati titik , maka:

Jadi bentuk fungsi kuadratnya adalah 

2.  Vektor Pada Dimensi Dua

A.  Pengertian

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Vektor pada dimensi dua adalah vektor yang terdiri dari unsur bilangan pada sumbu x dan sumbu y. Cara menuliskan vektor dapat dengan menggunakan Komponen Vektor dan Kombinasi Linier.

Contoh :

Diketahui titik A (-3, 4) dan B (6, -1), tentukan Komponen Vektor & Kombinasi Lilier !

Jawab :

B.   Modulus/ Besar / Panjang Vektor 

 Þ Jika diketahui vektor   maka modulus / besar / panjang vektor 

adalah

 

 Þ Jika diketahui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) dan komponen vektornya adalah

 Vektor   maka modulus vektornya adalah  

Contoh :

1.  Tentukan besar vektor  

Jawab :

2.  Diketahui Titik A(1, -3) dan B(4,2). Tentukan panjang vektor   !

Jawab :

x1 = 1, x2 = 4,  y1 = -3,  y2 = 2

                         

C.  Vektor Satuan 

Vektor Satuan adalah vektor yang mempunyai panjang satu satuan.

Vektor satuan dirumuskan sbb:

                                                            

Contoh : Diketahui vektor  . Tentukan vektor satuan dari vektor  !

Jawab :

D.  Penjumlahan dan Pengurangan Vektor 

Contoh :

1.  Diketahui vektor   . Tentukan  

Jawab :  

               

2.  Diketahui vektor   . Tentukan  

Jawab : 

                      

                       

                                  

                                  

E.  Perkalian Vektor 

1.  Perkalian Vektor dengan skalar

Contoh : Diketahui vektor    . Tentukan nilai   

 Jawab :  

              

2.  Perkalian vektor dengan vektor jika tidak diketahui sudutnya

Jika   ,  maka  

Contoh :

1)  Diketahui vektor   , Tentukan  

 Jawab : 

                          

                          

                                    

                                    

2) Diketahui vektor   , Tentukan  

Jawab :   

3.  Perkalian vekor dengan vektor jika diketahui sudut antara dua vektor maka :

Contoh : Diketahui vektor   , sudut diantara dua vektor

 tersebut 

a = 45⁰.  Tentukan   

 Jawab : 

                                            

                                                 

                                                 

  cos a = 45⁰ =  

                                                         

                                              Maka nilai dari :

        

                                               

                                                         

Selanjutnya Dapat Anda coba mengerjakan Soal-soal dibawah ini