Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Pengertian fungsi kuadrat dan grafiknya

Dalam fungsi kuadrat biasanya kita membuat grafiknya, nah kali ini kita akan membalik prosesnya yaitu menentukan atau membentuk fungsi kuadrat dari unsur-unsur yang diketahui. Unsur-unsur yang dimaksud adalah titik potong grafiknya, persamaan sumbu simetrinya atau koordinat titik puncaknya serta titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi kuadrat itu sendiri. Pada dasarnya kita dapat menentukan suatu fungsi kuadrat  apabila setidaknya diketahui tiga titik yang dialuinya.

Dalam menentukan suatu fungsi kuadrat kita dapat menggunakan tiga cara berdasarkan unsur-unsur yang diketahui dari fungsi kuadrat itu sendiri.

Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Grafik dengan Sumbu X dan Melalui suatu Titik Sebarang

Jika diketahui suat grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu x pada titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka rumus fungsi dari grafik fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai

y = a(x - x1)(x - x2)

Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita juga harus mengetahui titik lainnya yang dilalui fungsi kuadrat tersebut. Dengan demikian kita dapat menyusun rumus fungsi kuadrat tersebut

Contoh 1

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 6)

Penyelesaian

Dari titik potong sumbu x kita dapatkan x1 = -2 dan x2 = 3

y = a(x - x1)(x - x2)

y = a(x - (-2))(x - 3)

y = a(x + 2)(x - 3)

Selanjutnya, kita tentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x dan y titik (0, 6) pada persamaan di atas 6 = a(0 + 2)(0 - 3)

6 = a(2)(-3)

6 = -6a

a = -1

Jadi fungsi kuadratnya adalah

y = -1(x + 2)(x - 3)

y = -1(x2 - x - 6)

y = -x2 + x + 6

Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Puncak dan Melalui suatu Titik Sebarang

Jika yang diketahui dari suatu fungsi y = ax2 + bx + c adalah titik puncaknya (h, k) maka rumus fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

y = a(x - h)2 + k

Dengan mensubstitusikan titik lain yang dilalui oleh fungs kuadrat tersebut, kita akan memperoleh nilai a. Selanjutnya dengan mudah kita dapat menyusunrumus fungsi kuadratnya.

 Berikut adalah rumus untuk menyusun fungsi kuadrat:

1. Jika diketahui 2 titik yang memotong sumbu X (x₁, 0)  dan (x₂, 0)  dan 1 titik tertentu, maka rumusnya:

f(x) = y = a(x – x₁)(x – x₂)

2. Jika diketahui titik singgung sumbu X (x₁, 0) dan 1 titik tertentu, maka rumusnya:

f(x) = y = a(x – x₁)²

3. Jika diketahui titik puncak (xp, yp) dan 1 titik tertentu, maka rumusnya:

f(x) = y = a(x – xp)² + yp

4. Jika diketahui 3 titik, maka rumusnya:

f(x) = y = ax² + bx + c

Yuk mari kita perdalam penggunaan rumus di atas untuk mengerjakan soal.

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 12)!

Jawab:

Pada soal diketahui 2 titik potong sumbu X dan 1 titik tertentu, maka kita gunakan rumus: 

y = a(x – x₁)(x – x₂)

Satu titik yang lain:

 

y = a(x – x₁)(x – x₂)

12 = a (0 – 2)(0 – 3)

12 = 6a

a = 12 : 6

a = 2

maka persamaannya:

y = 2(x – 2)(x – 3)

y = 2(x² – 3x – 2x + 6)

y = 2(x² – 5x + 6)

y = 2x² – 10x + 12

jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah y = 2x² – 10x + 12

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik K (0, -6); L (-1, 0); dan M (1, -10)!

Jawab:

Karena melalui 3 buah titik, maka kita gunakan rumus: y = ax² + bx + c

a. Melalui titik K (0, -6) 

y = ax² + bx + c

-6 = a(0)² + b(0) + c

-6 = c

b. Melalui titik L (-1, 0)

y = ax² + bx + c

0 = a(-1)² + b(-1) + (-6)

0 = a – b – 6

a – b = 6 ..... (persamaan i)

c. Melalui titik M (1, -10)

y = ax² + bx + c

-10 = a(1)² + b(1) + (-6)

-10 = a + b – 6

a + b = -10 + 6

a + b = -4 .... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan (i) dan (ii)

a – b = 6

a – (-5) = 6

a + 5 = 6

a = 6 – 5

a = 1

Jadi, nilai a = 1; b = -5; dan c = -6. Sehingga persamaan fungsi kuadratnya menjadi:

y = (1)x² + (-5)x + (-6)

y = x² – 5x – 6

3. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat berikut!

Jawab:

Pada soal diketahui 2 titik yang memotong sumbu X yaitu: 

Maka kita gunakan rumus: y = a(x – x₁)(x – x₂)

4 = a(1 – (-1))(1 – 3)

4 = a(1 + 1) (-2)

4 = a(2)(-2)

4 = -4a

a = -4 : 4

a = -1

Maka persamaan garisnya adalah:

y = -1(x – (-1))(x – 3)

y = -1(x + 1)(x – 3)

y = -1(x² -3x + x – 3)

y = -1(x² -2x – 3)

y = -x² + 2x + 3

Jadi, persamaan fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah y = -x² + 2x + 3.

4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat grafik berikut!

Grafik di atas menyinggung sumbu X di titik dan memotong titik lain di 

Maka menggunakan rumus: y = a(x – x₁)²

-1 = a(0 – 1)²

-1 = a(1)

a = -1

Sehingga persamaan fungsi kuadratnya menjadi:

y = -1(x – 1)²

y = -1(x² - 2x + 1)

y = -x² + 2x – 1

5. Koordinat titik puncak dari sebuah grafik fungsi kuadrat adalah (-4 , 0). Grafik fungsi itu melalui titik (0, 8). Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut!

Jawab:

Diketahui titik puncak 

Maka kita gunakan rumus: y = a(x – xp)² + yp

y = a(x – xp)² + yp

8 = a(0 – (-4)² + 0

8 = a (4)²

8 = 16a

a = 8 : 16

a = ½ 

sehingga persamaan fungsi kuadratnya menjadi:

y = 1/2(x – (-4))² + 0

y = 1/2(x + 4)²

y = 1/2(x² + 8x + 16)

y = 1/2x² + 4x + 8

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah y = 1/2x² + 4x + 8.

Berikut ini Latihan Soal