Nilai Besaran Vektor Pada Dimensi Tiga

 A. Definisi 

Vektor pada ruang adalah vektor yang terletak di dalam ruang dimensi 3. Ruang ini di bentuk oleh sumbu x, sumbu y, sumbu z. Cara menuliskan vektor dapat dengan menggunakan Komponen Vektor dan Kombinasi Linier.

Þ Komponen Vektor

Þ Kombinasi Linier

B.  Modulus/ Besar / Panjang Vektor 

 Þ Jika diketahui vektor   maka modulus / besar / panjang vektor

adalah  

Contoh :

1.  Tentukan besar vektor   . Tentukan modulus vektor  ā !

Jawab :

C.  Vektor Satuan 

Vektor Satuan adalah vektor yang mempunyai panjang satu satuan.

Vektor satuan dirumuskan sbb:

Contoh : Diketahui vektor   . Tentukan vektor satuan dari vektor !

Jawab :

D.  Penjumlahan dan Pengurangan Vektor 

Contoh :

1.  Diketahui vektor  .

Tentukan 

Jawab :

E.  Perkalian Vektor 

1.  Perkalian Vektor dengan skalar

Contoh : Diketahui vektor . Tentukan nilai 

 Jawab : 

                                   

2.  Perkalian vektor dengan vektor jika tidak diketahui sudutnya

Jika   ,  maka  

Contoh :

1) Diketahui vektor , Tentukan 

Jawab : 

            

3.  Perkalian vekor dengan vektor jika diketahui sudut antara dua vektor maka :   atau 

Contoh : Diketahui vektor , Tentukan sudut yang dibentuk

oleh kedua vektor tersebut !

 Jawab : 

Latihan Soal dan Penyelesaianya 

1.  Diketahui vektor  ,  maka panjang vektor   adalah ...

Jawab :  

2.  Diketahui vektor   , maka besar vektor    adalah ...

Jawab :   

3.  Dua titik A(-1, 5) dan B(2, -2) pada bidang Cartesius. Kombinasi Linear

dari vektor   adalah ...

Jawab :    dimana  x_{1 =} -1, x_{2 =} 2,  y_{1 =} 5,  y_{2 =} -2

                       

                       

                      

                     

4.  Diketahui  , maka  adalah ...

Jawab : 

5.  Diketahui   , maka    adalah ...

Jawab :   

6.  Diketahui A(5, 8) dan B(2, -1). Jika titik P terletak pada ruas garis AB sehingga

AP : PB = 2 : 1, maka koordinat titik P adalah ...

Jawab :

            

    Þ maka koordinat titik 

Jadi koordinat titik P(4, 5)

7.  Diketahui  ,  maka nilai 2p – 3q adalah ...

Jawab : Þ 2p – 3q  

8.  Besar sudut antara vektor  a = 4i – 5j + k  dan  b = 6i + 4j – 4k  adalah ....

Jawab :

Rumus mencari besar sudut :

Maka besar sudut antara vektor  adalah ..

9.  Diketahui vektor u = 2i – 4j – 6k  dan vektor v = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor

orthogonal u  terhadap  v adalah ...

Jawab : Þ Diketahui : u = 2i – 4j – 6k 

  v = 2i – 2j + 4k

 Þ maka proyeksi orthogonal (z) u dan v

Þ Ingat bahwa :

10.  Diketahui   . Panjang proyeksi vektor a pada b  adalah ...

Jawab : 

Panjang proyeksi vektor a pada b  adalah

11.  Dua buah vektor masing-masing F₁ = 5 satuan dan F₂ = 8 satuan mengapit sudut 60⁰_.

Tentukan Resultan kedua vektor !

Jawab :