Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Melalui artikel ini Anda diajak untuk memahami konsep Komposisi fungsi dan
invers suatu fungsi dan menyelesaikan masalah
kontekstual menggunakan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
Komposisi atau operasi
fungsi secara umum dilakukan untuk menghasilkan nilai tertentu
setelah melalui tahapan/prosedur operasi tertentu. Hal ini banyak
diterapkan dalam kehidupan
sehari-hari, misalkan tata cara mandi tahapan adalah melepas baju baru dilanjutkan dengan
mandi, jika dibalik
akan berbeda hasilnya.
Begitu juga dengan benda-benda di sekitar kita banyak yang pembuatannya tidak sekaligus jadi
tetapi pengerjaannya bisa melalui
beberapa tahap. Misalnya meja dan kursi pada
gambar berikut agar siap dipakai
dapat dikerjakan melalui
beberapa tahap yaitu tahap pengerjaan pembuatan dan tahap finishing. Untuk tahap pembuatanpun melalui beberapa tahap, mulai
dari kayu gelodongan (Log), kayu papan, meja –
kursi kasar baru finishing.
Untuk membuat
mebel berupa meja dan kursi, seorang pengusaha
mebel harus mengetahui berapa biaya pembuatan meja dan
kursi sampai jadi sehingga biaya tidak berlebih.
Pengusaha harus merencanakan dan
menghitung satu persatu yaitu biaya pada tahap pengerjaan pembuatan
dan biaya pada tahap finishing. Di dalam matematika, biaya dari setiap tahapan
dapat dinyatakan dalam suatu fungsi biaya sehingga biaya
totalnya merupakan fungsi
komposisi dari setiap
tahapan.
Sebagai contoh berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 20 set meja kursi
dengan kualitas yang bagus dari seorang tukang kayu yang dapat menghasilkan meja dan kursi yang bagus melalui dua tahap,
yaitu tahap pembuatan dan tahap finishing.
Apabila biaya yang diperlukan pada tahap pembuatan adalah Rp750.000,00 per set, dan biaya pada tahap finishing
adalah Rp150.000,00 per set. Apabila
banyaknya meja dan kursi yang dihasilkan adalah
x set dan biaya yang diperlukan pada tahap
pembuatan adalah dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 750 000 𝑥
+ 15000, sedangkan biaya pada tahap finishing
dengan persamaan 𝑔(𝑥) = 15000𝑥 + 10000. Dengan menggunakan operasi fungsi komposisi
maka biaya total pembuatan 20 set meja-kursi dapat dihitung.
Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...
Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
Syarat Fungsi Komposisi
Contoh Soal 2:
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Contoh 1:
Tentukan ivers dari fungsi f(x) = 2x + 6
Pembahasan:
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
dengan demikian f-1(y) = ½ y – 3 atau f-1(x) = ½ x – 3
Contoh 2:
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
Pembahasan:
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f-1(x) = -5x +3 / 4x – 2
Untuk lebih jelas silahkan Anda mempelajari Diktat dibawah ini!
