Rumus Sudut Berelasi

Dengan memanfaatkan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, termasuk sudut yang lebih dari 360° dan sudut negatif.

Sudut Berelasi di Kuadran I

Untuk α = sudut lancip, maka (90° − α) merupakan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α

cos (90° − α) = sin α

tan (90° − α) = cot α

Sudut Berelasi di Kuadran II

Untuk α = sudut lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) merupakan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = -sin α

tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α

cos (180° − α) = -cos α

tan (180° − α) = -tan α

Sudut Berelasi Kuadran III

Untuk α = sudut lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) merupakan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α

cos (180° + α) = -cos α

tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α

cos (270° − α) = -sin α

tan (270° − α) = cot α

Sudut Berelasi Kuadran IV

Untuk α = sudut lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) merupakan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α

cos (270° + α) = sin α

tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α

cos (360° − α) = cos α

tan (360° − α) = -tan α

Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipakai dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka :

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Sedangkan untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Tabel Sudut Berelasi

Berikut adalah table sudut berelasi sin, cos, tan, cosec, sec, dan cotan di kuadran I, II, III, dan IV.

	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Sin α	Cos (90° – α)	Sin (180° – α)	–Sin (180° + α)	–Sin (360° – α)
Cos α	Sin (90° – α)	–Cos (180° – α)	–Cos (180° + α)	Cos (360° – α)
Tan α	Cotan (90° – α)	–Tan (180° – α)	Tan (180° + α)	–Tan (360° – α)
Cosec α	Sec (90° – α)	Cosec (180° – α)	–Cosec (180° + α)	–Cosec (360° – α)
Sec α	Cosec (90° – α)	–Sec (180° – α)	–Sec (180° + α)	Sec (360° – α)
Cotan α	Cotan (90° – α)	–Cotan (180° – α)	Cotan (180° + α)	–Cotan (360° – α)

Tanda masing-masing kuadran

Kuadran I (0 − 90°) = semua positif

Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif, lainnya negatif

Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif, lainnya negatif

Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif, lainnya negatif

Contoh Soal Sudut Berelasi

Berikut adalah contoh soal yang menggunakan sudut berelasi.

Contoh 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Contoh 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

= cos 27°

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Koordinat cartesius dan koordinat kutub serta cara konversi bisa dilakukan dengan menggunakan rumus. Sebelum Anda mengetahui rumus konversi koordinat cartesius ke dalam koordinat kutub ataupun sebaliknya, ada baiknya Anda mengetahui hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub dengan melihat gambar berikut.

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa koordinat cartesius ditujukan titik P (x,y) dan koordinat kutub P(r,ϑ) dan bisa ditentukan dengan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(x,y), maka koordinat kutub bisa ditentukan dengan rumus:

Sedangkan untuk mengkonversi koordinat kutub ke dalam koordinat cartesius digunakan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(r,ϑ), maka koordinat kutubnya dapat dinyatakan dengan rumus:

Contoh Soal Konversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Jika diketahui titik-titik koordinat sebagai berikut:

• P (4,4)
• P (6,1200)

Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub!

Jawab:

Diketahui koordinat cartesius P (4,4), maka digunakan rumus dan perhitungannya sebagai berikut

Jadi, koordinat kutub dari P (4,4) adalah

Diketahui koordinat kutub P (6,1200), maka perhitungannya adalah

Jadi, koordinat cartesius dari P (6,1200) adalah

Aturan Sinus dan Cosinus

Untuk menghitung dengan prinsip trigonometri kita akan membutuhkan aturan sinus dan cosinus. Aturan inilah yang akan bisa membantu kita menyelesaikan perhitungan dengan prinsip trigonometri.

Sinus

Aturan sinus adalah perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.

Keterangan

• A = besar sudut dihadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut dihadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut dihadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Pada segitiga ACR

Sin A = CR/b  maka CR = b sin A …(1)

Pada segitiga BCR

Sin B = CR/a  maka CR = a sin B …. (2)

Pada segitiga ABP

Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)

Pada segitiga APC

Sin C = AP/b  maka AP = b sin C …(4)

Lalu, berdasarkan persamaan (1) dan (2) akan didapatkan:

CR = b sin A , dan CR = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat

AP = c sin B , dan AP = b sin C maka b/sin B= C/sin C…(6)

Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Persamaan ini yang Akan disebut sebagai aturan sinus.

Cosinus

Aturan cosinus akan menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.

Keterangan

• A = besar sudut dihadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut dihadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut dihadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga BCR

Sin B =  CR/a maka CR = a sin B

Cos B = BR/a maka BR = a cos B

AR = AB – BR = c – a cos B

Perhatikan segitiga ACR

b2  = AR2 + CR2

b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2

b2 = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B

b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)

b2 = c2 + a2 – 2ac cos B

Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut

a2 = c2 + b2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

luas segitiga pada trigonometri

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

L =  ½ alas x tinggi
L = ½ AB x CD

L = ½ . c . h ……………………… (1)

Karena h adalah garis tinggi, maka segitiga ACD adalah segitiga siku-siku, sehingga

Dari (1) dan (2) diperoleh L = ½ .b.c.sin A

Jika garis tinggi h ditarik dari titik B maka diperoleh rumus L = ½ .a.c.sin B

Jika garis tinggi h ditarik dari titik A maka diperoleh rumus L = ½ .a.b.sin C

Jadi disimpulkan: Rumus luas segitiga ABC adalah :

Rumus lain dari luas segitiga ABC adalah jika diketahui panjang ketiga sisinya (yakni a, b dan c). Rumus tersebut adalah

Untuk lebih jelasnya diskusikanlah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah luas segitiga ABC jika diketahui sisi BC = 4 cm, AC = 7√3 cm dan < C = 600

Jawab

Diketahui : BC = a = 4 cm

                  AC = b = 7√3 cm

                 < C = 600

Maka : L = ½ .a.b.sin C

L = ½ (4)(7√3).sin 600

L = ½ (14 √3 )(½ √3)

L = 21

02. Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi BC = 4 cm dan AB = 6√3 cm, maka tentukanlah besar sudut B

Jawab

Diketahui : Luas = 18 cm2

                   BC = a = 4 cm

                   AB = c = 6√3 cm

03. Tentukanlah luas segitiga PQR, jika diketahui panjang sisi PQ = 5 cm, PR = 7 cm dan QR = 8 cm.

Jawab

Diketahui : PQ = r = 5 cm

                   PR = q = 7 cm

                   QR = p = 8 cm

Ditanya : Luas segitiga PQR

Perbandingan Jumlah dan Selisih Sudut Pada Trigonometri

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Pada Trigonometri. Ini merupakan materi trigonometri lanjutan. Materi ini digunakan untuk menghitung nilai sudut trigonometri yang tidak istimewa. Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah:

• $\sin \left(A+B\right)=\sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos A$
• $\sin \left(A-B\right)=\sin A\cdot \cos B-\sin B\cdot \cos A$
• $\cos \left(A+B\right)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B$
• $\cos \left(A-B\right)=\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin A$
• $\tan \left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot \tan B}$
• $\tan \left(A-B\right)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\cdot \tan B}$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini.

Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus

Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°

Pembahasan

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)

Pembahasan

a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B

sin 15° = sin 45° − 30°)

= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

cos 15° = cos (45° − 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga

Definisi Matriks

Matriks adalah angka-angka yang disusun sedemikian sehingga menyerupai persegipanjang berdasarkan urutan baris dan kolom. Angka-angka yang menyusun matriks disebut sebagai unsur atau elemen. Umumnya, matriks berada di dalam tanda kurung dan dinyatakan sebagai huruf kapital. Sementara itu, unsur atau elemen dinyatakan sebagai huruf kecil serta memiliki indeks. Indeks tersebut menyatakan letak baris dan kolom unsur. Baris adalah susunan angka yang arahnya horizontal atau mendatar. Sementara kolom adalah susunan angka yang arahnya vertikal. Perhatikan contoh matriks berikut.

Contoh

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau bisa sobat hitung tulis A(3×4).

Macam-Macam Matriks

(i) Matriks Nol (O)
Dinamakan matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL

(ii) Matriks Bujur Sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya

Contoh

(iii) Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini

(iv) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1

(v) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangakr yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol

(vi) Matriks Segitiga Bawah
Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

 

 (vi) Matriks Diagonal
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol

Operasi Pada Matriks

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut  berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Jika

A = (aij) m x n dan B = (bij) m x n maka
A + B = (aij) m x n +  (bij) m x n  = (aij + bij) m x n
A – B = (aij) m x n –  (bij) m x n  = (aij – bij) m x n

Contoh

 

2. Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika skalara dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupkan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Jika A = (aij) m x n maka k.A = k(aij) m x n = (kaij) m x n

Contoh

Dari operasi penjumlahan (pengurangan) dan perkalian skalar di atas didapt sfiat sifat asosiatif perkalian skalar terhadap penjumlahan (pengurangan).

kA = A.k (komutatif perkalian)
k (A + B) = k. A + k. B (asosiatif perkalian terhadap penjumlahan)
k (A – B) = k. A – k. B (asosiatif perkaian terhadap pengurangan)

3. Perkalian Dua Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian. Mudahnya itu sama kaya bari di kali kolom. Agar sobat lebih paham silahkan simak contoh berikut:

Transpose  Matriks

Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan AT. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. Simak contoh berikut:

 

dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contohnya

Karena A = At maka A disebut matriks simetri.

Determinan Matriks

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan.

Contohnya

Untuk memahami rumus determinan matriks berordo 3 x 3 diatas, silahkan simak contoh di bawah ini:

Determinan dari matriks-matriks khusus

Beberapa matriks termasuk dalam matriks khusus dan punya rumus cepat determinanya

a. Matriks Diagonal

b. Matriks Segitiga Atas

c. Matriks Segititga Bawah

 

Invers Matriks

Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A-1 dan secara umum dirumuskan

 

Penyelesaian SPLDV dengan Invers Matriks

Invers matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLDV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = p …………… Pers. (1)

cx + dy = q …………… Pers. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut

[	a	b	]	[	x	]	=	[	p	]
	c	d			y				q

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk menentukan nilai x dan nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

[	x	]	=	1	[	d	−b	]	[	p	]
	y			ad – bc		−c	a			q

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dua variabel. Agar kalian lebih paham mengenai cara menggunakan rumus invers matriks di atas, silahkan pelajari contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

2x – 3y = 3

x + 2y = 5

Pembahasan

Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B

[	2	−3	]	[	x	]	=	[	3	]
	1	2			y				5

Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B

[	x	]	=	1	[	2	−(-3)	]	[	3	]
	y			(2)(2) – (-3)(1)		−1	2			5

[	x	]	=	1	[	2	3	]	[	3	]
	y			4 – (-3)		−1	2			5

[	x	]	=	1	[	2	3	]	[	3	]
	y			7		−1	2			5

Ketiga, selesaikan persamaan matriks di atas

[	x	]	=	1	[	6 + 15	]
	y			7		−3 + 10

[	x	]	=	1	[	21	]
	y			7		7

[	x	]	=	[	21/7	]
	y				7/7

[	x	]	=	[	3	]
	y				1

Jadi, kita peroleh nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(3, 1)}.