Bentuk dan Operasi Bilangan Bentuk Akar

Pengakaran suatu bilangan merupakan inversi dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi ”√ ”. Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.

Dari definisi tersebut terdapat dua kata kunci : bilangan rasional dan bilangan irasional. Sekarang kita akan memahami makna dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 

ab

 (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh:

• Bilangan 3 dapat dinyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan sebagainya.
• Bilangan 8 dapat dinyatakan dalam bentuk 24/3, 56/7, 72/9 dan sebagainya.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dapat dinyatakan dalam bentuk 

ab

 (pecahan) dengan a dan b adalah bilangan bulat. Bilangan irrasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola.

Contoh:

• Nilai dari √2 = 1,414213562373..karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan maka nilai tereebut bilangan irasional
• Nilai dari π = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…, karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan maka nilai dari π termasuk bilangan irasional
• Nilai dari e = 2,718..., karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan maka nilai dari e termasuk bilangan irasional

.
Pada definisi sebelumnya "Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional". Namun tidak semuanya bilangan rasional dalam tanda akar akan menghasilkan bilangan irrasional. Contoh: √25 dan √64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8. Bilangan 5 dan 8 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sehingga keduanya bukan bilangan irrasional.

Silahkan perhatikan contoh di bawah ini untuk memahami yang mana bentuk akar dan bukan bentuk akar :

• √9 bukan merupakan bentuk akar, sebab √9 = 3 (bilangan rasional)
• √0,25 bukan merupakan bentuk akar, sebab √0,25 = 0,5 (bilangan rasional)
• √3 merupakan bentuk akar

Operasi Bentuk Akar

Pada tahap ini kita akan mengenali beberapa jenis operasi bentuk akar beserta rumus dan contoh soalnya seperti. Jenis-jenis operasi bentuk akar terdiri dari :

• Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
• Operasi Perkalian Bentuk Akar
• Operasi Pembagian Bentuk Akar
• Operasi Merasionalkan Penyebut
• Operasi Menyederhanakan Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan apabila terdapat bentuk akar yang sejenis. Bentuk akar sejenis adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama.

m√A + n√A = (m + n) √A
m√A - n√A = (m - n) √A

Contoh :

• 5√5 + 3√5 = (5 + 3) √5 = 8√5
• √5 + √7 (tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak sejenis)
• 23√5 + 43√5 = (2 + 4)3√5 = 63√5
• 54√6 - 34√6 = (5 - 3)4√6 = 24√6

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Operasi perkalian bentuk akar dapat dilakukan apabila akar pangkat-nya sama.

√A x √B = √AB
m√A x n√B = mn√AB

Contoh :

• √2 x √3 = √6
• 4√5 x 3√3 = (4 x 3) √(5 x 3) = 12√15
• 4√6 x 4√7 = 4√42

3. Operasi Pembagian Bentuk Akar

Operasi pembagian bentuk akar dapat dilakukan apabila akar pangkat-nya sama.

√A√B

 = √

AB

m√An√B

 = 

mn

 √

AB

Contoh :

• √18√3
   = √
  183
   = √6
  
• 4√152√3
   = 
  42
   √
  153
   = 2√5

4 Operasi Merasionalkan Penyebut

Pecahan yang penyebutnya berbentuk akar, dapat dirasionalkan dengan cara pecahan tersebut dikalikan dengan penyebutnya.

A√B

 = 

A√B

 x 

√B√B

A√B + √C

 = 

A√B + √C

 x 

√B - √C√B - √C

A√B - √C

 = 

A√B - √C

 x 

√B + √C√B + √C

Contoh :

3√4

 = 

3√4

 x 

√4√4

 = 

3√4√4 x √4

⇔ 

3√4√16

 = 

3√44

 = 

34

√4

5. Operasi Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku rumus atau persamaan berikut:

√a x b = √a x √b

Contoh

• √27 = √9 x √3 = 3√3
• √50 = √25 x √2 = 5√2