Secara definisi turunan fungsi aljabar merupakan pembahasan lebih jauh dari limit fungsi. Dengan kata lain turunan fungsi merupakan fungsi tertentu dimana nilai fungsi di setiiap titik ditentukan dengan batas selisih fungsi. Secara umum dijelaskan sebagai berikut. Jika dipunyai fungsi f(x) dan turunan f'(x), kedua fungsi tersebut memiliki hubungan:
Jika dipunyai fungsi f(x) fungsi aljabar diperoleh dasar turunan sebagai berikut.
1. f(x) = x n , maka f '(x) = nx n-1
2. f(x) = ax n , maka f '(x) = anx n-1 Sifat-sifat turunan fungsi aljabar Jika diketahui k suatu konstanta, u = u(x), v = v(x) dan masing-masing memiliki turunan u'(x) dan v'(x), maka berlaku: 1. f(x) = u + v, maka f'(x) = u' + v' 2. f(x)= u - v , maka f'(x) = u' - v' 3. f(x) = uv, maka f'(x) = u'v + uv' 4. f(x) = f(u), maka f' (x) = f'(u). u' 5. f(x) = u/v, maka f'(x) = (u'v - uv')/ v 2 Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = x 3 + x 2
2. f(x) = 4x 2 + 5x
3. f(x) = 3x 5 + 4x 3 – 7x 2
4. f(x) = 2x 4 + 8x 3 – x 2 – 9x + 1
5. f(x) = x 7 + 2x 5 – 6x 4 – 9x 2 + 11x
jawaban :
1. f' (x) = 3x 3-1 + 2x 2-1
= 3x2 + 2x
2. f'(x) = 4.2x 2-1 + 5x 1-1
= 8x + 5
3. f' (x) = 3,5x 5-1 + 4,3x 3-1 – 7,2x 2-1
=15x 4 + 12x 2 – 14x
4. f' (x) = 2,4x 4-1 + 8,3x 3-1 – 2x 2-1 – 9
= 8x 3 + 24x 2 – 2x – 9
5. f'(x) = 7.x 7-1 + 2.5x 5-1 – 6.4x 4-1 – 9.2x 2-1 + 11x 1-1
= 7x 6 + 10x 4 – 24x 3 – 18x + 11
Contoh 2
Tentukan turunan fungsi berikut.
1. F(x) = (x + 2)(2x 3 – 5)
2. F(x) = (x 2 + 5)(4x 3 – 3x)
3. F(x) = (x + 2)/(3x – 4)
4. F(x) = (x 2 + 1)/(x 2 – 1)
jawaban :
1. F(x) = (x + 2)(2x 3 – 5)
Misalkan u = x + 2, maka u' = 1
dan v = 2x 3 – 5, maka v' = 6x 2
f'(x) = u'v + uv'
=1 . (2x 3 – 5) + (x + 2) . 6x 2
= 2x 3 – 5 + 6x 3 + 12x 2
= 8x 3 + 12x 2 – 5
2. F(x) = (x 2 + 5)(4x 3 – 3x)
Misalkan u = x 2 + 5, maka u' = 2x
dan v = 4x 3 – 3x, maka v' = 12x 2 – 3
f'(x) = u'v + uv'
= 2x . (4x 3 – 3x) + (x 2 + 5).(12x 2 – 3)
= (8x 4 – 6x 2 ) + (12x 4 – 3x 2 – 15)
= 20x 4 – 9x 2 – 15
3. F(x) = (x + 2)/(3x – 4)
Misalkan u = x + 5, maka u' = 1
dan v = 3x – 4, maka v' = 3
4. F(x) = (x 2 + 1)/(x 2 – 1)
Misalkan u = x 2 + 1, maka u' = 2x
dan v = x 2 – 1, maka v' = 2x
Contoh 3
Tentukan turunan fungsi berikut.
1. F(x) = (2x + 3) 5
2. F(x) = (3x 2 – 2) 4
3. F(x) = (x 3 + 2x) 5
jawaban :
1. F(x) = (2x + 3) 5
Misal u = 2x + 3, sehingga du/dx = u' = 2
Y = f(x) = u 5 Sehingga dy/du = 5u 4
F'(x) = dy/du . du/dx
= 5u 4 . 2
= 10u 4
=10 (2x + 3 ) 4
2. F(x) = (3x 2 – 2) 4
Misal u = 3x 2 – 4, sehingga du/dx = u' = 6x
Y = f(x) = u 4 Sehingga dy/du = 4u 3
F'(x) = dy/du . du/dx
= 4u 3 . 6x
= 24xu 3
=24(3x 2 – 4) 3
3. F(x) = (x 3 + 2x) 5
Misal u = x 3 + 2x, sehingga du/dx = u' = 3x 2 + 2
Y = f(x) = u 5 Sehingga dy/du = 5u 4
F'(x) = dy/du . du/dx
= 5u 4 . (3x 2 + 2)
= 5(x 3 + 2x) 4 . (3x 2 + 2)
Diktat Selengkapnya dapat diunduh silahkan klik Menentukan Turunan fungsi serta penerapannya
Tags
Matematika